题目

如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．（1）求CD的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值． 答案：解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC． ∴． ∵，，∴． （2）∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC． ∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC． ∴∠ABC=∠ACB． ∴AC=AB=4．作AH⊥BC，垂足为点H． ∴BH=CH=1． 作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH． ∴，即． ∴，． 又∵DE∥PQ，∴，即． 整理，得． 定义域为x>0． （3）∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC， ∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA． ∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，∴∠ABD=∠DQA． ∴AQ=AB=4． 作AF⊥BQ，垂足为点F，可得，． ∴． 解得． ∴． 解得，即．

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