题目

已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（　　） A．   B．   C．   D．1 答案：C【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值． 【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点， 过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q， 延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2， 由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a， 连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线， ∴OQ=a，又OQ=2b， ∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2）， 即c2=a2， ∴== =2b+≥2=． 当且仅当2b=，即b=时，有最小值为． 故选：C． 　

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