题目

如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B． （1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形； （2）填空： ①当的长为　   　cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP＝　   　cm时，四边形AOBP是正方形． 答案：解：（1）如图1，连接AO， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°， ∵∠APO＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∵OA＝OC， ∴∠C＝∠CAO＝30°， ∴∠C＝∠APO， ∴△ACP是等腰三角形； （2）如图2，①∵四边形AOBD是菱形， ∴AO＝AD， ∵AO＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， 则∠AOB＝120°， ∴的长为：＝或＝ 故答案是：或； ②当四边形AOBP为正方形时，则有PA＝AO＝1cm， ∵PA为⊙O的切线， ∴PA2＝PD•PC，且CD＝2cm， ∴1＝PD（PD+2），整理可得PD2+2PD﹣1＝0， 解得PD＝﹣1或PD＝﹣﹣1（舍去）， ∴PD＝﹣1（cm）， ∴当PD＝（﹣1）cm时，四边形AOBP为正方形； 故答案为：（﹣1）．

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