题目

设函数的解析式满足． （1）求函数的解析式； （2）当时，试判断函数在区间上的单调性，并加以证明； （3）当时，记函数，求函数在区间上的值域． 答案：解：⑴（法一）设，则，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分      ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （法二）   ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分     ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 ⑵当时，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 在上单调递减，在上单调递增，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分 证明：设，则 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分 ，，， 所以，在上单调递减，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分 同理可证得在上单调递增┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分 ⑶，为偶函数， 所以，的图像关于轴对称，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分 又当时，由⑵知在单调减，单调增， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉15分 当时，函数在区间上的值域的为┉┉┉┉┉┉16分 （若按先求时，的函数解析式；再判断在上的单调性；最后给出函数值域作答，则分值分别为2分、2分、2分）

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