题目

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为且过点(4,).(1)求双曲线的标准方程;(2)直线x=3与双曲线交于M、N两点,求证:F1M⊥F2M. 答案：（1）解:由双曲线的离心率为,即,则,∴a=b,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x2-y2=λ(λ≠0).由于双曲线过点(4,-),则42-()2=λ.∴λ=6.∴双曲线方程为.(2)证明:由(1)可得F1、F2的坐标分别为(-2,0)、(2,0),M、N的坐标分别为(3, )、(3,- ),∴kF1M=,k F2M=.故k F1M·k F2M=,∴F1M⊥F2M.点评:(1)离心率给定的问题应先研究a、b的关系,简化设方程的字母个数.(2)λ≠0时,方程x2-y2=λ既可表示焦点在x轴上也可表示焦点在y轴上的双曲线.

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