题目

如图（1）所示，直角梯形中，，，，．过 作于，是线段上的一个动点．将沿向上折起，使平面平面．连结，，（如图（2））． （Ⅰ）取线段的中点，问：是否存在点，使得平面？若存在，求出 的长；不存在，说明理由； （Ⅱ）当时，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．   答案：Ⅰ）存在．当为的中点时，满足平面；（Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）是否存在性问题，常假设存在去分析，寻找到结果后可转化为证明题；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角大小的关系求出答案。 试题解析：（Ⅰ）存在．当为的中点时，满足平面．………1分 取的中点，连结，． 由为的中点，得，且，……2分 又，且， 所以，， 所以四边形为平行四边形，……………………4分 故．……………………………………………5分 又平面，平面， 所以平面．   ………………………………6分 从而存在点，使得平面，此时．……………… 7分 （Ⅱ）由平面平面，交线为，且， 所以平面，又，………………………………8分.Com] 以E为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间 直角坐标系（如图），则，，，， ．…………………………………………………………10分 ，．…………………………………11分 平面的一个法向量为，  ……………………12分 设平面的法向量为， 由得   ………………………………………13分 取，得，  ……………………………………………14分 所以， 即面和平面所成的锐二面角的余弦值为．……………15分 考点：存在性问题、求二面角的大小。

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