题目

设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是(　　) A.[1,e]                 B.[1,1+e] C.[e,1+e]               D.[0,1] 答案：A.若存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立,则A(b,f(b)),A′(f(b), b)都在y=f(x)的图象上,又f(x)=在[0,1]上单调递增,所以 (xA′-xA)(yA′-yA)≥0,即(f(b)-b)(b-f(b))≥0, 所以(f(b)-b)2≤0,所以f(b)=b, 所以f(x)=x在[0,1]上有解, 即=x在[0,1]上有解, 所以a=ex+x-x2,x∈[0,1], 令φ(x)=ex+x-x2,x∈[0,1], 则φ′(x)=ex+1-2x>0,x∈[0,1], 所以φ(x)在[0,1]上单调递增,又φ(0)=1,φ(1)=e, 所以φ(x)的值域为[1,e],即a∈[1,e].

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