题目

（本小题满分13分）     已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．    （1）求椭圆C的标准方程；    （2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围． 答案：解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………1分             又∵的离心率为……………………………… 2分             ∴，∴a=，b=2………………………… 4分             ∴标准方程为………………………………………6分       （2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），            由得……………………7分            ∴x1+x2=，x1x2=              由（1）知右焦点F坐标为（2，0），              ∵右焦点F在圆内部，∴＜0………………………………8分              ∴（x1 -2）（x2-2）+ y1y2＜0              即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…………………… 9分              ∴＜0…………… 11分              ∴k＜……………………………………………………………… 12分              经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，              ∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……………………………13分

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