题目

已知，函数 （1）求的极小值； （2）若在上为单调增函数，求的取值范围； （3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围． 答案：解：（1）由题意，，，∴当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，故． …………………………………………………………………4分 （2） ，，由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是．…………………9分 （3）构造函数， 当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得． 当时，，因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是．…………………14分 另法:（Ⅲ）当时，． 当时，由，得 ， 令，则，所以在上递减，． 综上，要在上存在一个，使得，必须且只需．

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