题目

如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，设=λ.(1)当λ=3时，求EF与平面ABCD所成的角：（2）当λ=1时，求二面角F—DE—C的大小（用反三角函数表示）；（3）当λ为何值时，有BD1⊥EF？ 答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（1，2，0）. 当λ=3时，F（0，2，1），=（-1，0，1）.设平面ABCD的法向量为n,则n=(0,0,1).设与n的夹角为θ,则cosθ==.∴EF与平面ABCD所成的角为45°.(2)当λ=1时，F（0，2，2），=（-1，0，2），=（0，2，2）.设平面DEF的法向量为m,则m=0，m=0，∴m=(2,-1,1),∴cos〈m,n〉==.∴二面角F—DE—C的大小arccos.(3)显然D1（0，0，4），B（2，2，0），设F（0，2，t）,则=（-1，0，t），=（-2，-2，4）.要使EF⊥BD1，只要·=0，2+4t=0,t=-.∴λ=-9.

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