题目

已知数列{an}的前n项和满足：a1=-1，Sn+1+2Sn=-1(nN*)，数列{bn}的通项公式为bn=3n-4(nN*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)试比较an与bn的大小，并加以证明；(Ⅲ)是否存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k，使得三点An(bn，an)，Am(bm，am)，Ak(bk，ak)落在圆C上?说明理由. 答案：解：(1)∵Sn+1+2Sn=-1(a∈N*),∴Sn+2+2Sn+1=-1(n∈N*)两式相减得an+2+2an+1=0,即an+2=-2an+1(n∈N*).又a1=-1,S2+2S1=3a1+a2=-1,a2=-2a1,∴a1=-1,an+1=-2an(n∈N*),即数列{an}是首项为-1；公比为-2的等比数列,其通项公式是an=-(-2)n-1  。(Ⅱ)a1=-1,b1=-1；a2=2,b2=2；a4=8,b4=8∴当n=1,2,4时,an=bn当n=2k+1(k∈N*)时,a2k+1=-(-2)2k＜0,b2k+1=6k-1＞0,∴an＜bn当n=2k(k∈N*)时,a2k=2k-1=24·(1+1)2k-5≥16()=32k-64＞0,b2k=6k-4,  ∵k∈N*,k≥3.∴an-bn≥26k-60≥18＞0,即an＞bn 。(Ⅲ)不存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k,使得三点An、Am、Ak落在圆C上.假没存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k,使得三点An、Am、Ak,即An(3n-4,-(-2)n-1),Am(3m-4,-(-2)m-1),Ak(3k-4,-(-2)k-1)落在圆C上.不妨设n＞m＞k≥1,设圆C的方程为：x2+y2+Dx+F=0从而9n2-24n+16+4n-1+(3n-4)D+F=0  ①9m2-24m+16+4m-1+(3m-4)D+F=0  ②9k2-24k+16+4k-1+(3k-4)D+F=0  ③由①-②,②-③得：9(n+m)(n-m)-24(n-m)++3(n-m)D=09(m+k)(m-k)-24(m-k)++3(m-k)D=0即9(n+m)-24++3D=0  ④9(m+k)-24++3D=0  ⑤由④-⑤得：9(n-k)+=0整理得,9(n-k)+[(m-k)(n-k)()+(n-m)]=0∵n＞m＞k≥1,∴又作函数f(x)=(x≥1),由f′(x)=,0(x≥1)知函数f(x)=(x≥1)是增函数.∵n＞m＞k≥1,∴n-k＞m-k≥1,∴,与矛盾.故不存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k,使得三点An、Am、Ak落在圆C上.

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