题目

已知关于 的函数 ， （I）试求函数的单调区间； （II）若在区间 内有极值，试求a的取值范围； （III） 时，若有唯一的零点 ，试求 .（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如 ；以下数据供参考： 答案：【分析】 （I）由题意的定义域为 ，对a分类讨论：当a≥0时，当a＜0时，即可得出单调性； （II） , 所以的定义域也为，且， 令h（x）=2x3-ax-2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2-a，当a＜0时，可得：函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f（x）单调，因此函数f（x）无极值． （III）a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，因此x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，由题意可知：x1即为x0．得到 ，即 ，消去可得： ，a＞0，令 分别研究单调性即可得出x0的取值范围． 【详解】（I）由题意的定义域为   （i）若，则在上恒成立，为其单调递减区间； （ii）若，则由得， 时，，时，， 所以为其单调递减区间；为其单调递增区间； （II）    所以的定义域也为， 且 令 (*) 则 (**) （i）当时, 恒成立,所以为上的单调递增函数， 又，所以在区间内存在唯一一个零点， 由于为上的单调递增函数，所以在区间内， 从而在，所以此时在区间内有唯一极值且为极小值，适合题意, （ii）当时,即在区间(0,1)上恒成立,此时, 无极值. 综上所述,若在区间内有极值，则a的取值范围为. (III) ,由（II）且知时, . 由(**)式知，。 由于，所以， 又由于， 所以 亦即 ， 由 从而得 所以，, 从而，又因为有唯一的零点，所以 即为,   消去a,得 时令, 则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数, 且 【点睛】

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