题目

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上． （1）二次函数的解析式为y=　　　　　　； （2）证明：点（﹣m，2m﹣1）不在（1）中所求的二次函数的图象上； （3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点． ①y轴上存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是　　　　　　； ②二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE=2S三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 　 答案：【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式． （2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式． （3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标， ①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且BA∥DK，进而求出K点的坐标． ②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S三角形ABD=2S三角形ACD，设P（x， x2﹣x+1），由题意可以解出x． 【解答】（1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x﹣2）2（a≠0）， 把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0，1） 再代入y=a（x﹣2）2得：1=4a，则a=． 故二次函数的解析式为：y=（x﹣2）2=x2﹣x+1．   （2）证明：设点（﹣m，2m﹣1）在二次函数y=x2﹣x+1的图象上， 则有：2m﹣1=m2+m+1， 整理得m2﹣4m+8=0， ∵△=（﹣4）2﹣4×8=﹣16＜0 ∴原方程无解， ∴点（﹣m，2m﹣1）不在二次函数y=x2﹣x+1的图象上．   （3）解：①K（0，﹣3）或（0，5）； ②二次函数的图象上存在点P，使得S△POE=2S△ABD， 如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点， ∴OE=EF，由于y=x2﹣x+1和y=x+1可求得点B（8，9） ∴E（4，0），D（4，1），C（4，5）， ∴AD∥x轴， ∴S△ABD=2S△ACD=2××4×4=16． 设P（x， x2﹣x+1）， 由题意有：S△POE=×4（﹣x+1）=x2﹣2x+2， ∵S△POE=2S△ABD ∴x2﹣2x+2=32 解得x=﹣6或x=10， 当x=﹣6时，y=×36+6+1=16， 当x=10时，y=×100﹣10+1=16， ∴存在点P（﹣6，16）和P（10，16），使得S△POE=2S△ABD． 【点评】本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会判断点是否在直线上，本题步骤有点多，做题需要细心．

查看本题答案和解析