题目

如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，， 为中点． （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值． 答案： 证明：（Ⅰ）由题设，连结， 所以，为等腰直角三角形 所以，且，又为等腰三角形， 故，且，从而OA2+SO2=SA2．∴． 又． 所以平面． （Ⅱ）解法一： 取中点，连结，由（Ⅰ）知， 得．   为二面角的平面角． 由得平面． 所以，又， 故． 所以二面角的余弦值为． 解法二： 以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则． 的中点，． ． 故等于二面角的平面角． ， 所以二面角的余弦值为．

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