题目

已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。 (1) 求函数的解析式； (2) 当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）； (3) 当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。    答案： 解：(1) 时，， 则 ∵函数是定义在上的奇函数，即 ∴，即 ，                                  3分 又可知 。                                                        4分 ∴函数的解析式为 ；                           6分 (2) ，∵，，∴。 ∵                         9分 ∴，即 ， 。                                          11分 ∴猜想在上的单调递增区间为。                           12分 (3) 时，任取， ∵ ∴在上单调递增，即，即   14分 ∵，∴，，∴，                     16分 且函数的图像是连续的曲线， ∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。             18分

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