题目

如图2-2-7所示,在半径为1的⊙O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q.证明四边形APQB的面积是1.图2-2-7 答案：思路分析：由已知条件可以证明四边形ABEF是正方形，且边长为2，则正方形面积为2.而△ABD的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明S四边形APQB=S△ABD，即证S△BPD=S△BPQ，即证DQ∥PB.因为BP⊥AE，所以，只需证DQ⊥AE.证明：∵AE、BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心，∴AE、BF互相平分、垂直且相等.∴四边形ABEF是正方形.∴∠ACB=∠AEF=45°，即∠DCQ=∠QED.∴D、Q、E、C四点共圆.连结CE、DQ，则∠DCE+∠DQE=180°.∵AE为⊙O的直径，∴∠DCE=90°，∠DQE=90°.∵∠FOE=90°，进而DQ∥BF，∴S△BPQ=S△BPD.∴S△ABP+S△BPQ=S△ABP+S△BPD，即S四边形ABQP=S△ABD.∵⊙O的半径为1，∴正方形边长为，即AB=AF=.∴S四边形ABQP=S△ABD=AB·AF=1.    方法归纳 当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根据条件先证明某四点共圆，再利用圆的性质可使问题得以解决，这种方法常称之为“作辅助圆”方法.

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