题目

已知过函数f(x)=x3+ax2+1的图像上一点B（1,b）的切线的斜率为-3.(1)求a、b的值.（2）求A的取值范围，使不等式f(x)≤A-1 991对于x∈［-1,4］恒成立.（3）令g(x)=-f(x)-3x2+tx+1，是否存在一个实数t,使得当x∈(0,1］时，g(x)有最大值1? 答案：解：(1)f′(x)=3x2+2ax,依题意,得k=f′(1)=3+2a=-3,∴a=-3.∴f(x)=x3-3x2+1.把B(1,b)代入得b=f(1)=-1,∴a=-3,b=-1.(2)令f′(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.∵f(0)=1,f(2)=23-3×22+1=-3,f(-1)=-3,f(4)=17,∴当x∈［-1,4］时,-3≤f(x)≤17,要使f(x)≤A-1 991对于x∈［-1,4］恒成立,则f(x)的最大值17≤A-1 991,∴A≥2 008.(3)已知g(x)=-(x3-3x2+1)-3x2+tx+1=-x3+tx,∴g′(x)=-3x2+t.∵0＜x≤1,∴-3≤-3x2＜0.①当t＞3时，t-3x2＞0,即g′(x)＞0,∴g(x)在(0，1］上为增函数，g(x)的最大值g(1)=t-1=1,得t=2(不合题意，舍去).②当0＜t≤3时，g′(x)=-3x2+t,令g′(x)=0，得x=.列表如下：x(0,)(,1］g′(x)+0-g(x)↗极大值↘g(x)在x=处取最大值-()3+t=1,∴t==＜3.∴x=＜1.③当t≤0时，g′(x)=-3x2+t＜0,∴g(x)在(0，1］上为减函数.∴g(x)在(0，1］上无最大值.∴存在一个t=,使g(x)在(0，1］上有最大值1.

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