题目

已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 答案：【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣， 所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 设直线AB解析式为y=kx+b， 将点A（0，6）、B（6，0）代入，得： ， 解得：， 则直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6， 则N（t，﹣t+6）， ∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t， ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN•AG+PN•BM =PN•（AG+BM） =PN•OB =×（﹣t2+3t）×6 =﹣t2+9t =﹣（t﹣3）2+， ∴当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）如图2， ∵PH⊥OB于H， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH∥AO， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE∥x轴、PD⊥x轴， ∴∠DPE=90°， 若△PDE为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°， ∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合， 则当y=6时，﹣x2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4， 即点P（4，6）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．

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