题目

设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且当﹣1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2+4a2x+b． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）当1＜a≤3时，求函数f（x）在（0，1]上的最大值g（a）； （Ⅲ）如果对满足1＜a≤3的一切实数a，函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求实数b的取值范围． 答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质． 【专题】综合题；分类讨论． 【分析】（Ⅰ）由﹣1≤x≤0得到﹣x的范围，因为函数为奇函数，所以得到f（x）=﹣f（﹣x），把﹣x代入f（x）的解析式即可确定出f（x）在0＜x≤1时的解析式，且得到f（0）=0，；联立可得f（x）的分段函数解析式； （Ⅱ）当x大于0小于等于1时，求出f（x）的导函数等于0时x的值，利用x的值分大于小于1和大于等于1小于等于2两种情况考虑导函数的正负，得到函数的单调区间，利用函数的增减性分别求出相应的最大值g（a），联立得到g（a）的分段函数表达式； （Ⅲ）要使函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必须f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．也即是对满足1＜a≤3的实数a，g（a）的最大值要小于或等于0．由（Ⅱ）求出g（a）的解析式，分a大于1小于和a大于等于小于等于3两种情况考虑g（a）的解析式，分别求出相应g（a）的导函数，利用导函数的正负判断g（a）的单调性，根据g（a）的增减性得到g（a）的最大值，利用g（a）的最大值列出关于b的不等式，求出两不等式的公共解集即可满足题意的b的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当0＜x≤1时，﹣1≤﹣x＜0，则 f（x）=﹣f（﹣x）=2x3﹣5ax2+4a2x﹣b． 当x=0时，f（0）=﹣f（﹣0）∴f（0）=0； ∴f（x）=； （Ⅱ）当0＜x≤1时，f′（x）=6x2﹣10ax+4a2=2（3x﹣2a）（x﹣a）=6（x﹣）（x﹣a）． ①当＜＜1，即1＜a＜时， 当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，1]时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1]上单调递减， ∴g（a）=f（）=a3﹣b． ②当1≤≤2，即≤a≤3时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，1]单调递增． ∴g（a）=f（1）=4a2﹣5a+2﹣b， ∴g（a）= （Ⅲ）要使函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必须f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0． 也即是对满足1＜a≤3的实数a，g（a）的最大值要小于或等于0． ①当1＜a≤时，g′（a）=a2＞0，此时g（a）在（1，）上是增函数， 则g（a）＜﹣b=﹣b．∴﹣b≤0，解得b≥； ②当≤a≤3时，g′（a）=8a﹣5＞0，此时，g（a）在[，3]上是增函数，g（a）的最大值是g（3）=23﹣b． ∴23﹣b≤0，解得b≥23． 由①、②得实数b的取值范围是b≥23． 【点评】此题考查学生会利用导数求闭区间上函数的最值，灵活运用函数的奇偶性解决数学问题，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．

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