题目
设f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且当﹣1≤x≤0时,f(x)=2x3+5ax2+4a2x+b. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)当1<a≤3时,求函数f(x)在(0,1]上的最大值g(a); (Ⅲ)如果对满足1<a≤3的一切实数a,函数f(x)在(0,1]上恒有f(x)≤0,求实数b的取值范围.
答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数奇偶性的性质. 【专题】综合题;分类讨论. 【分析】(Ⅰ)由﹣1≤x≤0得到﹣x的范围,因为函数为奇函数,所以得到f(x)=﹣f(﹣x),把﹣x代入f(x)的解析式即可确定出f(x)在0<x≤1时的解析式,且得到f(0)=0,;联立可得f(x)的分段函数解析式; (Ⅱ)当x大于0小于等于1时,求出f(x)的导函数等于0时x的值,利用x的值分大于小于1和大于等于1小于等于2两种情况考虑导函数的正负,得到函数的单调区间,利用函数的增减性分别求出相应的最大值g(a),联立得到g(a)的分段函数表达式; (Ⅲ)要使函数f(x)在(0,1]上恒有f(x)≤0,必须f(x)在(0,1]上的最大值g(a)≤0.也即是对满足1<a≤3的实数a,g(a)的最大值要小于或等于0.由(Ⅱ)求出g(a)的解析式,分a大于1小于和a大于等于小于等于3两种情况考虑g(a)的解析式,分别求出相应g(a)的导函数,利用导函数的正负判断g(a)的单调性,根据g(a)的增减性得到g(a)的最大值,利用g(a)的最大值列出关于b的不等式,求出两不等式的公共解集即可满足题意的b的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)当0<x≤1时,﹣1≤﹣x<0,则 f(x)=﹣f(﹣x)=2x3﹣5ax2+4a2x﹣b. 当x=0时,f(0)=﹣f(﹣0)∴f(0)=0; ∴f(x)=; (Ⅱ)当0<x≤1时,f′(x)=6x2﹣10ax+4a2=2(3x﹣2a)(x﹣a)=6(x﹣)(x﹣a). ①当<<1,即1<a<时, 当x∈(0,)时,f′(x)>0,当x∈(,1]时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,)单调递增,在(,1]上单调递减, ∴g(a)=f()=a3﹣b. ②当1≤≤2,即≤a≤3时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,1]单调递增. ∴g(a)=f(1)=4a2﹣5a+2﹣b, ∴g(a)= (Ⅲ)要使函数f(x)在(0,1]上恒有f(x)≤0,必须f(x)在(0,1]上的最大值g(a)≤0. 也即是对满足1<a≤3的实数a,g(a)的最大值要小于或等于0. ①当1<a≤时,g′(a)=a2>0,此时g(a)在(1,)上是增函数, 则g(a)<﹣b=﹣b.∴﹣b≤0,解得b≥; ②当≤a≤3时,g′(a)=8a﹣5>0,此时,g(a)在[,3]上是增函数,g(a)的最大值是g(3)=23﹣b. ∴23﹣b≤0,解得b≥23. 由①、②得实数b的取值范围是b≥23. 【点评】此题考查学生会利用导数求闭区间上函数的最值,灵活运用函数的奇偶性解决数学问题,考查了分类讨论的数学思想,是一道综合题.