题目

已知正三棱柱ABC—A1B1C1,若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.(1)确定D的位置,并证明你的结论;(2)证明平面AB1D⊥平面AA1D;(3)若AB∶AA1=,求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小. 答案：剖析:本题的结论是“开放性”的,点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻两侧面上的异面直线,于是可考虑将BC1沿BA平行移动,BC1取AE1位置,则平面AB1E1一定平行于BC1,问题可以解决.(1)解:如图,将正三棱柱ABC—A1B1C1补成一直平行六面体ABCE—A1B1C1E1,由AE1∥BC1,AE1平面AB1E1,知BC1∥平面AB1E1,故平面AB1E1应为所求平面,此时平面AB1E1交A1C1于点D,由平行四边形对角线互相平行性质知,D为A1C1的中点.(2)证明:连结AD,从直平行六面体定义知AA1⊥底面A1B1C1D1,且从A1B1C1E1是菱形知,B1E1⊥A1C1,据三垂线定理知,B1E1⊥AD.    又AD∩A1C1=D,所以B1E1⊥平面AA1D.    又B1E1平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面AA1D.(3)解:因为平面AB1D∩平面AA1D=AD,    所以过A1作A1H⊥AD于点H.    作HF⊥AB1于点F,连结A1F,从三垂线定理知A1F⊥AB1.    故∠A1FH是二面角A1AB1D的平面角.    设侧棱AA1=1,侧棱AB=.    于是AB1==.    在Rt△AB1A1中,A1F===,    在Rt△AA1D中,AA1=1,A1D=A1C1=,AD==.    则A1H==.    在Rt△A1FH中,sin∠A1FH==,所以∠A1FH=45°.    因此可知平面AB1D与平面AB1A1所成角为45°或135°.讲评:本题主要考查棱柱的性质,以及面面关系、二面角的计算,同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力.

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