题目

如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论： ①m+n=q+p； ②m+p=n+q； ③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点； ④若m=n，则E点一定在BD上．其中正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 答案：B【考点】矩形的性质．【分析】过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，由矩形的性质容易证出①不正确，②正确；若m=n，则p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥DE于Q，延长BE交CD于F，先证AP=CQ，再证明△ABP≌△CFQ，得出AB=CF，F与D重合，得出③不正确，④正确，即可得出结论．【解答】解：过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，如图1所示：则m=ABEM，n=BCEH，p=CDEN，q=ADEG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=GH，BC=AD=MN， ∴m+p=ABMN=ABBC，n+q=（BCGH=BCAB， ∴m+p=n+q； ∴①不正确，②正确；若m=n，则p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥DE于Q，延长BE交CD于F，如图2所示：则∠APB=∠CQF=90°， ∵m=BEAP，n=BECQ， ∵m=n， ∴AP=CQ， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2，在△ABP和△CFQ中，， ∴△ABP≌△CFQ（AAS）， ∴AB=CF， ∴F与D重合， ∴E一定在BD上； ∴③不正确，④正确．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

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