题目

已知函数，其中为常数. 若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值； 若对，都有，求的取值范围. 答案：    【解析】 【分析】 （1）求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可． （2）对a分类讨论，易判断当或当时，在区间内是单调的，根据单调性得出结论，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减， 故，又因为，成立.而的最大值为，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后求解结果． 【详解】求导得，所以. 又，所以曲线在处的切线方程为. 由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求. 对，，所以在区间内单调递减. ①当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去. ②当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由恒成立得，结合得. ③当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减. 故，由恒成立知，，，所以. 又的最大值为，由得， 所以. 设，则，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立. 综上所述，所求的取值范围是. 【点睛】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考查转化思想以及计算能力．

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