题目

如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）． 答案：解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下： 连接OD，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°， ∵OB=OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD=60°， ∴∠BOD=∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）连接OF，如图2所示： ∵OC=OF，∠C=60°， ∴△OCF是等边三角形， ∴CF=OC=BC=AB=2， ∵FH⊥BC， ∴∠FHC=90°， ∴FH=CF•sin∠C=2×=．

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