题目

已知在 上的函数 满足如下条件： ① 函数 的图象关于 轴对称； ② 对于任意 ， ； ③ 当 时， ； ④ 函数 ， ，若过点 的直线 与函数 的图象在 上恰有 8 个交点，在直线 斜率 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 答案： A 【分析】 先由条件 ①② ，得到函数 是周期为 的周期函数；根据 ③ 求出函数 在一个周期 上的表达式为 ，根据 ④ 得到 的周期为 ，其图象可由 的图象压缩为原来的 得到，作出 的图象，结合图象，即可求出结果 . 【详解】 因为函数 是偶函数，由 得 ， 即 ，所以函数 是周期为 的周期函数； 若 ，则 ； 因为当 时， ， 所以 时， ， 因为函数 是偶函数，所以 ， 即 ， ， 则函数 在一个周期 上的表达式为 ， 因为 ， ， 所以函数 ， ， 故 的周期为 ，其图象可由 的图象压缩为原来的 得到， 作出 的图象如图： 易知过 的直线 斜率存在，设过点 的直线 的方程为 ， 则要使直线 与 的图象在 上恰有 8 个交点，则 ， 因为 ，所以 ，故 . 故选： A. 【点睛】 关键点点睛： 求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解 .

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