题目

如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值； （3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为：y=， ∵过点B的直线y=kx+， ∴代入（1，0），得：k=﹣， ∴BD解析式为y=﹣； （2）由得交点坐标为D（﹣5，4）， 如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F， 当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形， 则△DEP1∽△P1OC， ∴=，即=， 解得t=， 当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形 由△P2DB∽△DEB得=， 即=， 解得：t=； 当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3， ∴=，即=， 解得：t=， ∴t的值为、、． （3）由已知直线EF解析式为：y=﹣x﹣， 在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M 过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小． 则△EOF∽△NHD′ 设点N坐标为（a，﹣）， ∴=，即=， 解得：a=﹣2， 则N点坐标为（﹣2，﹣2）， 求得直线ND′的解析式为y=x+1， 当x=﹣时，y=﹣， ∴M点坐标为（﹣，﹣）， 此时，DM+MN的值最小为==2． 【点评】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．

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