题目

如图所示,M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点.(1)若,求证:无论点P在DD1上如何移动,总有BP⊥MN.(2)若D1P∶PD=1∶2,且PB⊥平面B1MN,求二面角NB1MB的大小.(3)在棱DD1上是否存在这样的点P,使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论. 答案： (1)证明：以DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如右图所示.设正方体棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,1).设M(1,1-x,0),N(1-x,1,0),P(0,0,z),则=(-x,x,0),=(-1,-1,z).=x-x=0,∴BP⊥MN.(2)解：由条件知P(0,0,),=(-1,-1,),=(-1,0,0),、分别为面B1MN、面B1MB的法向量.∴二面角N-B1M-B的大小等于〈,〉,cos〈,〉=∴〈,〉=arccos.所求二面角的大小为arccos.(3)解：不妨假设存在点P,则在平面ACC1内过C作CE⊥AC1,垂足为E.设P(0,0,z),=(-1,0,z),λ(-1,1,1),=(-λ+1,λ-1,λ),由再由∴P为DD1中点,此时CE⊥AP.故CE⊥平面APC1.又CE平面ACC1,∴平面APC1⊥平面ACC1.

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