题目

已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点， 且OA=1，OB=3，OC=4． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， ∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0）， ∴ 解得：a=，b=，c=3， ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2x+3； ∵y=x2x+3=(x+)2+ ∴抛物线的顶点坐标是（） （2）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积，理由为： 设点P的坐标为P(m，n)， ∵S△ACB =×5×3=， S△ACP =×5×︱n︱ ∴×5×︱n︱=，n=±3 ∴当n=3时，x2x+3=3，解得x1=0，x2=-3 当n=-3时，x2x+3=-3，解得x1=，x2= ∴P的坐标为P 1(-3，3)，P 2(，-3)，P3(，-3) （3）在平面直角坐标系xOy中存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形，理由为： ∵OB=3，OC=4，OA=1， ∴BC=AC=5， 当BQ平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形， ∴BQ=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB， ∴点Q的坐标为（5，3）， 当点Q在第二、三象限时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形， 则当点Q的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形.

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