题目

（山东卷理22）如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. （Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：（Ⅰ）证明：由题意设． 由得，得， 所以，． 因此直线的方程为， 直线的方程为． 所以，① ．② 由①、②得， 因此，即． 所以三点的横坐标成等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时， 将其代入①、②并整理得： ，， 所以是方程的两根，因此，， 又，所以． 由弦长公式得． 又， 所以或，因此所求抛物线方程为或． （Ⅲ）解：设，由题意得， 则的中点坐标为， 设直线的方程为， 由点在直线上，并注意到点也在直线上， 代入得． 若在抛物线上，则， 因此或．即或． （1）当时，则，此时，点适合题意． （2）当，对于，此时，， 又，，所以， 即，矛盾． 对于，因为，此时直线平行于轴，  又， 所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点． 综上所述，仅存在一点适合题意．

查看本题答案和解析