题目

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　　；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时， ①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．答案：解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6）， ∴OA=OB=6， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠OBA=45°， ∵OC∥AB， ∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形， ∴AB=OA=6， ∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长， ∵△OAB为等腰直角三角形， ∴AB=OA=6， ∴OE=AB=3， ∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18． ∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F， ∵OC∥AD， ∴∠ADO=∠COD=90°， ∴∠DOA+∠DAO=90° 而∠DOA+∠COF=90°， ∴∠COF=∠DAO， ∴Rt△OCF∽Rt△AOD， ∴=，即=，解得CF=，在Rt△OCF中，OF==， ∴C点坐标为（﹣，）； ②直线BC是⊙O的切线．理由如下：在Rt△OCF中，OC=3，OF=， ∴∠COF=30°， ∴∠OAD=30°， ∴∠BOC=60°，∠AOD=60°， ∵在△BOC和△AOD中， ∴△BOC≌△AOD（SAS）， ∴∠BCO=∠ADC=90°， ∴OC⊥BC， ∴直线BC为⊙O的切线．

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