题目

已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA． （1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数； （2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC， ①AE与OD的大小有什么关系？为什么？ ②求∠ODC的度数． 答案：解：（1）如图①，连接OC， ∵OC=OA，CD=OA， ∴OC=CD， ∴∠ODC=∠COD， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∴∠ODC=45°； （2）如图②，连接OE． ∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∵AE∥OC， ∴∠2=∠3． 设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x． ∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x． ①AE=OD．理由如下： 在△AOE与△OCD中， ∴△AOE≌△OCD（SAS）， ∴AE=OD． ②∠6=∠1+∠2=2x． ∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x． ∵AE∥OC， ∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°， ∴x=36°． ∴∠ODC=36°．

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