题目

22.已知抛物线C:y＝x2＋4x＋,过C上一点M,且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.   (Ⅰ)若C在点M法线的斜率为－,求点M的坐标(x0,y0);   (Ⅱ)设P (－2,a)为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P？若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程；若没有,请说明理由. 答案：22.本小题主要考查导数的几何意义和应用,直线方程以及综合运用数学知 识解决问题的能力.满分14分. 解:(Ⅰ)函数y＝x2+4x+的导数 ＝2x+4C上点(x0,y0)处切线的斜率　　　　　k0＝2x0+4,  因为过点(x0,y0)的法线斜率为－,　所以－(2x0+4)＝－1,   解得x0＝－1,y0＝,  故点M的坐标为(－1,).  (Ⅱ)设M(x0,y0)为C上一点.　(i)若x0＝－2,则C上点M(－2,－)处的切线斜率k＝0,过点M(－2,－)的法线方程为x＝－2,此法线过点P(－2,a).  (ii)若x0≠－2,则过点M(x0,y0)的法线方程为y－y0＝－(x－x0).                  ①　 若法线过P(－2,a),则a－y0＝－(－2－x0),   即　　　(x0+2)2＝a.                               ②　 若a>0,则x0＝－2±,从而          y0＝x+4x0+＝,   将上式代入①,化简得　　　　　 x+2y+2－2a＝0,           x－2y+2+2a＝0.  若a＝0,则与x0≠－2矛盾.若a<0,则②式无解.综上,当a>0时,在C上有三个点(－2+,),(－2－,)及(－2,－).在这三点的法线过点P(－2,a),其方程分别是:  x+2y+2－2a＝0,  x－2y+2+2a＝0,  x＝－2.    当a≤0时,在C上有一个点(－2,－),在这点的法线过点P(－2,a),其方程为:x＝－2.

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