题目

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S． 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 答案：解：（1）设此抛物线的函数解析式为： y=ax2+bx+c（a≠0）， 将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0） 三点代入函数解析式得： 解得， 所以此函数解析式为：y=； （2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：（m，）， ∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB =×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4 =﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8 =﹣m2﹣4m， =﹣（m+2）2+4， ∵﹣4＜m＜0， 当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4． 答：m=﹣2时S有最大值S=4． （3）设P（x， x2+x﹣4）． 当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB， ∴Q的横坐标等于P的横坐标， 又∵直线的解析式为y=﹣x， 则Q（x，﹣x）． 由PQ=OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|=4， 解得x=0，﹣4，﹣2±2． x=0不合题意，舍去． 如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）． 由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．

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