题目
在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S. 求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值. (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
答案:解:(1)设此抛物线的函数解析式为: y=ax2+bx+c(a≠0), 将A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0) 三点代入函数解析式得: 解得, 所以此函数解析式为:y=; (2)∵M点的横坐标为m,且点M在这条抛物线上, ∴M点的坐标为:(m,), ∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB =×4×(﹣m2﹣m+4)+×4×(﹣m)﹣×4×4 =﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8 =﹣m2﹣4m, =﹣(m+2)2+4, ∵﹣4<m<0, 当m=﹣2时,S有最大值为:S=﹣4+8=4. 答:m=﹣2时S有最大值S=4. (3)设P(x, x2+x﹣4). 当OB为边时,根据平行四边形的性质知PQ∥OB,且PQ=OB, ∴Q的横坐标等于P的横坐标, 又∵直线的解析式为y=﹣x, 则Q(x,﹣x). 由PQ=OB,得|﹣x﹣(x2+x﹣4)|=4, 解得x=0,﹣4,﹣2±2. x=0不合题意,舍去. 如图,当BO为对角线时,知A与P应该重合,OP=4.四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4,Q横坐标为4,代入y=﹣x得出Q为(4,﹣4). 由此可得Q(﹣4,4)或(﹣2+2,2﹣2)或(﹣2﹣2,2+2)或(4,﹣4).