题目

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AB的中点，则二面角B﹣CA1﹣P的大小为　　　　　　． 答案：　． 【考点】二面角的平面角及求法． 【专题】转化思想；综合法；空间角． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCA1的法向量和平面PCA1的法向量，由此利用向量法能求出二面角B﹣CA1﹣P的大小． 【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2， C（0，2，0），B（2，2，0），A1（2，0，2）， P（2，1，0），=（2，﹣2，2），=（2，0，0），=（2，﹣1，0）， 设平面BCA1的法向量=（x，y，z）， 则 ，取y=1，得=（0，1，1）， 设平面PCA1的法向量=（a，b，c）， 则 ，取a=1，得=（1，2，1）， 设二面角B﹣CA1﹣P的平面角为θ， cosθ=|cos＜，＞|===， ∴θ=， 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力． 　

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