题目

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于定义域为的函数，若有常数M，使得对任意的，存在唯一的满足等式，则称M为函数f (x)的“均值”． （1）判断1是否为函数≤≤的“均值”，请说明理由； （2）若函数为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围； （3）若函数是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）． 说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分 答案：解：（1）对任意的，有， 当且仅当时，有，      故存在唯一，满足，              ……………………2分 所以1是函数的“均值”．            ……………………4分 (另法：对任意的，有，令， 则，且，      若，且，则有，可得， 故存在唯一，满足，              ……………………2分 所以1是函数的“均值”．            ……………………4分） （2）当时，存在“均值”，且“均值”为；…………5分 当时，由存在均值，可知对任意的， 都有唯一的与之对应，从而有单调， 故有或，解得或或，         ……………………9分 综上，a的取值范围是或．　　　　　　　　　   ……………………10分 （另法：分四种情形进行讨论） （3）①当I 或时，函数存在唯一的“均值”． 这时函数的“均值”为； 　                     …………………12分 ②当I为时，函数存在无数多个“均值”． 这时任意实数均为函数的“均值”；        　　　 　　……………………14分 ③当I 或或或或或时， 函数不存在“均值”．     　　　　　　　　　　　　　……………………16分 [评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分] ①当且仅当I形如、其中之一时，函数存在唯一的“均值”． 这时函数的“均值”为； 　                    ……………………13分 ②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”． 这时任意实数均为函数的“均值”；        　　　 　　……………………16分 ③当且仅当I形如、、、、、其中之一时，函数不存在“均值”．     　　　　　　　　 　　　 　　……………………18分 （另法：①当且仅当I为开区间或闭区间时，函数存在唯一的“均值”．这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数；                     ……………………13分 ②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数的“均值”；                                       ……………………16分 ③当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时，函数不存在“均值”．                                              ……………………18分） 评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分

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