题目

（18）已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn=,n=1,2,3….(Ⅰ)证明{bn}为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}各项的和S=,求数列{an}的首项a1和公差d.(注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前n项和的极限) 答案：（18）（Ⅰ）证明：∵lga1、lga2、lga4成等差数列，           ∴2lga2=lga1+lga4，即a2=a1·a4.等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d),这样d2=a1d.从而d(d－a1)=0.          (i)若d=0，则{an}为常数列，相应{bn}也是常数列.此时{bn}是首项为正数，公式为1的等比数列.       (ii)若d=a1≠0，则=a1+(2n－1)d=2nd，bn=.这时{bn}是首项b1=，公比为的等比数列.综上知，{bn}为等比数列.           （Ⅱ）解：如果无穷等比数列{bn}的公比q=1，则当n→∞时其前n项和的极限不存在.因而d=a1≠0，这时公比q=，b1=.这样，{bn}的前n项和Sn=，则S=Sn==.           由S=得公差d=3，首项a1=d=3.

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