题目

【小题1】问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=DF，则的值为_____． 【小题2】拓展问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．【小题3】推广问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论． 答案：【小题1】的值为  1【小题2】证明：如图9．∵CB=CA， ∴∠CAB=∠CBA． ∵∠MAC=∠MBC， ∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，即∠MAB=∠MBA． ∴MA=MB． ∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F， ∴∠AFM=∠BEM=90°．在△AFM与△BEM中，           ∠AFM=∠BEM， ∠MAF =∠MBE，            MA=MB，∴△AFM≌△BEM． ∵点D是AB边的中点，∴BD = AD．在△BDE与△ADF中，          BD = AD， ∠DBE =∠DAF，BE = AF，∴△BDE≌△ADF．              ∴DE=DF． 【小题3】解：DE=DF．证明：分别取AM，BM的中点G，H，连接DG，FG，DH，EH．（如图10）∵点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．∴四边形DHMG是平行四边形．∴∠DHM =∠DGM，∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，∴∠AFM=∠BEM=90°．∴FG=AM= AG，EH=BM= BH． ∴FG= DH，DG= EH，    ∠GAF =∠GFA，∠HBE =∠HEB．∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．∵∠FAM=∠EBM，∴∠FGM =∠EHM．∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．在△EHD与△DGF中，          EH = DG， ∠EHD =∠DGF，HD = GF，∴△EHD≌△DGF．              ∴DE=DF． 解析:略

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