题目

已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最小值1，最大值4，设f（x）=． （1）若不等式f（2x）﹣k+2≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围； （2）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0有四个不同的实数解，求实数k的范围． 　 答案：考点： 二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）讨论a＞0和a＜0，判断g（x）在[2，3]上的单调性，根据单调性求g（x）的最值，从而求出a，b，并满足b＜1，从而求出a=1，b=0，这样可以得到不等式在x∈[﹣1，1]上恒成立，由基本不等式可求出在[﹣1，1]上的最小值2，从而k≤2； （2）根据f（x）的解析式可将原方程变成|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+1+2k=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，得到关于t的方程：t2﹣（2+3k）t+1+2k=0，根据|2x﹣1|=t的图象及原方程有四个不同实数解，得到方程t2﹣（2+3k）t+1+2k=0在（0，1）上有两个不同实数根，结合二次函数的图象即可得到限制k的不等式组，解不等式组即得k的范围． 解答： 解：g（x）的对称轴为x=1； ①若a＞0，则g（x）在[2，3]上单调递增； ∴g（x）在[2，3]上的最小值为g（2）=1+b=1，最大值为g（3）=3a+1+b=4； ∴a=1，b=0； ②若a＜0，g（x）在[2，3]上单调递减； ∴g（x）在[2，3]上的最小值为g（3）=3a+1+b=1，最大值为g（2）=1+b=4； ∴a=﹣1，b=3； ∵b＜1； ∴a=1，b=0； ∴g（x）=x2﹣2x+1； ∴； ∴不等式f（2x）﹣k+2≥0在[﹣1，1]上恒成立，化成在x∈[﹣1，1]上恒成立； ∵，当x=0时取“=”； ∴在[﹣1，1]上的最小值为2； ∴k≤2； ∴实数k的范围为（﹣∞，2]； （2）方程化为； 即|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+1+2k=0，2x﹣1≠0； 令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0，（t≠0）； 可画出t=|2x﹣1|的图象如下所示： ∵原方程有四个不同的解； ∴方程t2﹣（2+3k）t+1+2k=0有两个不同实数根，且都在区间（0，1）上； 设h（t）=t2﹣（2+3k）t+1+2k，则k需满足： ； 解得； ∴实数k的范围为（）． 点评： 考查二次函数的单调性，根据单调性求函数在闭区间上的最值，以及运用基本不等式求函数最值，能够画出函数|2x﹣1|的图象，熟悉并会运用二次函数图象． 　

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