题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，点m在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8， （1）求证：AE=CD； （2）求点C坐标和⊙M直径AB的长； （3）求OG的长． 答案：【考点】圆的综合题． 【分析】（1）要证明AE=CD，即证明，由点C是的中点和AB⊥CD可知，，从而可得； （2）由垂径定理可知：OC=CD=AE=4，所以点C的坐标为（0，4），连接AC和BC后，证明△CAO∽△BAC，可得CA2=AO•AB，从而可求出AB的长度； （3）由可知，AG=CG，设AG=x，则OG=4﹣x，利用勾股定理可列出方程即可求出x的值． 【解答】解：（1）∵点C是的中点， ∴， ∵AB⊥CD， ∴由垂径定理可知： =， ∴， ∴， ∴AE=CD； （2）连接AC、BC， 由（1）可知：CD=AE=8， ∴由垂径定理可知：OC=CD=4， ∴C的坐标为（0，4）， 由勾股定理可求得：CA2=22+42=20， ∵AB是⊙M的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=∠CAB， ∴△CAO∽△BAC， ∴， ∴CA2=AO•AB， ∴AB==10； （3）由（1）可知：， ∴∠ACD=∠CAE， ∴AG=CG， 设AG=x， ∴CG=x，OG=OC﹣CG=4﹣x， ∴由勾股定理可求得：AO2+OG2=AG2， ∴22+（4﹣x）2=x2， ∴x=， ∴OG=4﹣x= 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识进行解答．

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