题目

设P为锐角△ABC内任意一点,P点到三边BC、CA、AB的距离分别为PD、PE、PF,试求BD2+CE2+AF2的最小值. 答案：解：设BC=a,CA=b,AB=c,BD=x,CE=y,AF=z,如图,连结PA、PB、PC.由勾股定理,得(x2+PD2)+(y2+PE2)+(z2+PF2)=PB2+PC2+PA2=(c-z)2+PF2+(a-x)2+PD2+(b-y)2+PE2.∴x2+y2+z2=(a-x)2+(b-y)2+(c-z)2,即ax+by+cz=(a2+b2+c2),                                                  ①由柯西不等式,得ax+by+cz≤.                    ②由①②,得≥(a2+b2+c2).∴x2+y2+z2≥(a2+b2+c2),当且仅当x=λa,y=λb,z=λc时等号成立.将它们代入①式,得λ=.∴当x=,y=,z=,即P为△ABC的外心时,BD2+CE2+AF2达到最小值(a2+b2+c2).

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