题目

已知函数（），其中为自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性及极值； （2）若不等式在内恒成立，求证：. 答案：．解：（1）由题意得. 当，即时，，在内单调递增，没有极值. 当，即时， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故当时，取得极小值，无极大值. 综上所述，当时，在内单调递增，没有极值； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值. （2）当时，成立. 当时，由（1），知在内单调递增， 令为和中较小的数， 所以，且， 则，. 所以， 与恒成立矛盾，应舍去. 当时，， 即， 所以. 令， 则. 令，得， 令，得， 故在区间内单调递增， 在区间内单调递减. 故， 即当时，. 所以. 所以. 而， 所以.

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