题目

如图，过矩形ABCD（AD>AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连结AF和CE. （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2=AC·AP． 答案：证明：（1）由已知可知EF⊥AC，AO=CO        ………………1分 ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF                    ………………3分 ∴EO=FO ∴四边形AFCE是菱形。              ………………4分 （2）∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP                             ………………5分 ∴，得AE2=AO·AP                  ………………7分 又AC=2AO ∴2AE2=AC·AP                              ………………8分

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