题目

如图，半圆O的直径AB＝20，弦CD∥AB，动点M在半径OD上，射线BM与弦CD相交于点E（点E与点C.D不重合），设OM＝m． （1）求DE的长（用含m的代数式表示）； （2）令弦CD所对的圆心角为α，且sin＝． ①若△DEM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围； ②若动点N在CD上，且CN＝OM，射线BM与射线ON相交于点F，当∠OMF＝90° 时，求DE的长． 答案：【分析】（1）由CD∥AB知△DEM∽△OBM，可得＝，据此可得； （2）①连接OC.作OP⊥CD.MQ⊥CD，由OC＝OD.OP⊥CD知∠DOP＝∠COD，据此可得sin∠DOP＝sin∠DMQ＝、sin∠ODP＝，继而由OM＝m、OD＝10得QM＝DMsin∠ODP＝（10﹣m），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD＝8.CD＝16，证△CDM∽△BOM得＝，求得OM＝，据此可得m的取值范围； ②如图3，由BM＝OBsin∠BOM＝10×＝6，可得OM＝8，根据（1）所求结果可得答案． 【解答】解：（1）∵CD∥AB， ∴△DEM∽△OBM， ∴＝，即＝， ∴DE＝； （2）①如图1，连接OC.作OP⊥CD于点P，作MQ⊥CD于点Q， ∵OC＝OD.OP⊥CD， ∴∠DOP＝∠COD， ∵sin＝， ∴sin∠DOP＝sin∠DMQ＝，sin∠ODP＝， ∵OM＝m、OD＝10， ∴DM＝10﹣m， ∴QM＝DMsin∠ODP＝（10﹣m）， 则S△DEM＝DE•MQ＝××（10﹣m）＝， 如图2， ∵PD＝ODsin∠DOP＝10×＝8， ∴CD＝16， ∵CD∥AB， ∴△CDM∽△BOM， ∴＝，即＝， 解得：OM＝， ∴＜m＜10， ∴S＝，（＜m＜10）． ②当∠OMF＝90°时，如图3， 则∠BMO＝90°， 在Rt△BOM中，BM＝OBsin∠BOM＝10×＝6， 则OM＝8， 由（1）得DE＝＝． 【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的能力．

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