题目

正方体ABCD—EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，AP=BQ=a.（1）求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；（2）求证：PQ⊥AD. 答案：（1）解析:作PM⊥BC于M，连结QM，∵AB⊥BC，∴PM∥AB，于是.∵AP=BQ，∴GQ=CP.这样可得.∴QM∥GC.∵GC⊥平面AC，∴QM⊥平面AC.∠QPM是PQ与平面AC所成的角，QM=，∴tan∠QPM=.（2）证明:上面已证MP∥AB，QM∥GC，而AB⊥BC，QM⊥BC，∴BC⊥MP，且BC⊥QM.∴BC⊥平面PQM，因此BC⊥PQ.由AD∥BC可知PQ⊥AD.小结：（1）中求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值的过程是“作、证、算”，即先作出∠QPM，然后再证明∠QPM是PQ与平面ABCD所成角，最后再计算其正切值.（2）中证PQ⊥AD，由于BC∥AD，于是就把证PQ⊥AD的问题转化成了证明PQ⊥BC的问题.

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