题目

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2. (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l：y＝kx＋与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 答案： (1)解： 设椭圆的焦半距为c，则由题设，得……………(2分) 解得所以b2＝a2－c2＝4－3＝1， 故所求椭圆C的方程为＋x2＝1.……………(3分) (2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O. 理由如下： 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线l 的方程y＝kx＋代入＋x2＝1， 并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.(*)……………(5分) 则x1＋x2＝－，x1x2＝－.……………(6分) 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O， 所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.……………(8分) 又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋3，……………(9分) 于是－－＋3＝0，解得k＝±，……………(11分) 经检验知：此时(*)式的Δ＞0，符合题意． 所以当k＝±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.……………(12分)

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