题目

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2. (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线l:y=kx+与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 答案: (1)解: 设椭圆的焦半距为c,则由题设,得……………(2分) 解得所以b2=a2-c2=4-3=1, 故所求椭圆C的方程为+x2=1.……………(3分) (2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O. 理由如下: 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1, 并整理,得(k2+4)x2+2kx-1=0.(*)……………(5分) 则x1+x2=-,x1x2=-.……………(6分) 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O, 所以·=0,即x1x2+y1y2=0.……………(8分) 又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3,……………(9分) 于是--+3=0,解得k=±,……………(11分) 经检验知:此时(*)式的Δ>0,符合题意. 所以当k=±时,以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.……………(12分)
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