题目

如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长． 答案：（1）见解析；（2）. 【分析】 (1)由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论； (2)过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG＝EA．由三角函数定义得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝，设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出，即可得出答案． 【详解】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO． ∵AO＝BO， ∴AC＝BD． ∴平行四边形ABCD为矩形． (2)过点E作EG⊥BD于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°， ∴EA⊥AD， ∵DE为∠ADB的角平分线， ∴EG＝EA． ∵AO＝BO， ∴∠CAB＝∠ABD． ∵AD＝3，tan∠CAB＝， ∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝． ∴AB＝4． ∴BD＝，sin∠CAB＝sin∠ABD＝． 设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x， 在△BEG中，∠BGE＝90°， ∴sin∠ABD＝． 解得：x＝， ∴AE＝． 故答案为：. 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．

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