题目

（本题满分16分） 已知直线与函数的图象相切于点，且与函数 的图象也相切.        （Ⅰ）求直线的方程及的值； （Ⅱ）设，若恒成立，求实数a的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）∵，直线是函数的图象在点处的切线， ∴其斜率为 ∴直线的方程为．                               ……………3分         又因为直线与的图象相切， 由， 得（不合题意，舍去）  ……………6分 （Ⅱ）方法一： 由恒成立， 得恒成立                             ……………8分 设，则                    ……………9分 当时，；当时，． 于是，在上单调递增，在上单调递减．      故的最大值为                       ……………11分  要使恒成立，只需     ∴a的取值范围为   ……………12分 方法二：由（Ⅰ）知， ∴ ……………8分 （i）若时，令，则；令，则， 故在上单调递减，在上单调递增 故在上的最小值为 要使解得恒成立，只需，得 …………12分 （ii）若，恒成立，在上单调递减，， 故不可能恒成立                             ……………15分 综上所述，   即a的取值范围为           ……………16分

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