题目

已知函数f(x)＝(ax－1)ex，a∈R. (1)当a＝1时，求函数f(x)的极值； (2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围． 答案： [解析]　(1)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex， 所以当a＝1时，f ′(x)＝xex，令f ′(x)＝0，则x＝0， 所以f(x)，f ′(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值 所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1. (2)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数， 所以f ′(x)≥0对x∈(0,1)恒成立． 又ex>0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立， 解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要成立， 即解得a≥1. 解法二：要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立， 因为x>0，所以a≥对x∈(0,1)恒成立， 因为函数g(x)＝在(0,1)上单调递减， ∴g(x)≤1，∴a≥1.

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