题目

我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是　　　　.  答案： 解析:设椭圆的半长轴为a1,椭圆的离心率为e1, 则e1=, a1=. 设双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e, e=,a=. |PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0), 则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60°=x2+y2-xy, 当点P看作是椭圆上的点时, 有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,① 当点P看作是双曲线上的点时, 有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,② ①②联立消去xy得4c2=+3a2, 即4c2=+3, 所以+3=4, 又因为=e, 所以e2+=4, 整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3, 所以e=, 即双曲线的离心率为.

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