题目

（本题满分10分） 如图，已知抛物线M：的准线为，N为上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A、B，再分别过A、B两点作的垂线，垂足分别为C，D。 求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标； 若的面积成等差数列，求此时点N的坐标。 答案：【必做题】 解法一：（1）因为抛物线的准线的方程为， 所以可设点的坐标分别为， ，，则，，  由，得，求导数得，于是， 即，化简得， 同理可得， 所以和是关于的方程 两个实数根，所以， 且． 在直线的方程中， 令，得=为定值， 所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………………………5分 (2)由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点， 因为是抛物线的焦点，所以，所以， 所以 ， 又因为，， 所以，，成等差数列，即成等差数列， 即成等差数列，所以，， 所以，， 时，，， 时，，， 所以所求点的坐标为．………………………………………………………………10分 解法二：（1）因为已知抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，，，则，， 设过点与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得，此时两切点横坐标分别为， 在直线的方程中，令得 =为定值， 所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………………………5分 （2）由（1）知两切线的斜率分别为，则，所以， 连接，则直线斜率为， 又因为直线的斜率， 所以， 所以，又因为，所以， 所以和的面积成等差数列，所以成等差数列， 所以成等差数列，所以，， 所以，， 时，，， 时，，， 所以所求点的坐标为．  …………………………………………………………10分 （以上各题如考生另有解法，请参照本评分标准给分）

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