题目

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且． （1）求椭圆方程； （2）若，求m的取值范围． 答案：（1）（C的方程为：y2＋＝1 （2）m的取值范围为（－1，－）∪（，1） 解析:（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝， ∴a＝1，b＝c＝， 故C的方程为：y2＋＝1　     ………………………………………4分 （2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ， ∴λ＋1＝4，λ＝3　            ………………………………………………6分 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） x1＋x2＝， x1x2＝　  ………………………………………………9分 ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴ 消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　  ………………………………………………11分 m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝， 因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1 容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立 即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）     ………………………14分

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